Koja je snaga broja

• Razlozi

Napominjemo da se ovaj odjeljak bavi konceptom stupnja samo s prirodnim pokazateljem i nulom.

Pojam i svojstva stupnjeva s racionalnim eksponatima (s negativnim i frakcijskim) razmatrat će se u nastavi za razred 8. t

Razmotrimo, dakle, koja je snaga broja. Za snimanje proizvoda samog broja na sebi nekoliko puta koristite skraćeni zapis.

Umjesto produkta šest jednakih faktora 4, 4, 4, 4, 4, 4, pišu 4 6 i kažu »četiri do šestog stupnja«.

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4

Izraz 4 6 se naziva snaga broja, gdje:

• 4 - osnova stupnja;
• 6 - eksponent.

Općenito, stupanj s bazom "a" i indeksom "n" piše se pomoću izraza:

Stupanj broja “a” s prirodnim indeksom “n”, većim od 1, proizvod je jednakih faktora “n”, od kojih je svaki jednak broju “a”.

Oznaka "n" glasi se ovako: "ali na snagu n" ili "n-ta snaga broja a".

Iznimke su zapisi:

• a 2 - može se izgovoriti kao "kvadrat";
• a 3 - može se izgovoriti kao "ali u kocki".

Naravno, gore navedeni izrazi mogu se pročitati kako bi se odredio stupanj:

• a 2 - “iu drugom stupnju”;
• a 3 - "iu trećem stupnju."

Posebni slučajevi se javljaju kada je eksponent jedan ili nula (n = 1; n = 0).

Stupanj broja "a" s indeksom n = 1 je sam broj:
a 1 = a

Bilo koji broj u nultom stupnju je jedan.
a 0 = 1

Nula u bilo kojem prirodnom stupnju je nula.
0 n = 0

Jedinica u bilo kojem stupnju je jednaka 1.
1 n = 1

Izraz 0 (nula do nule) smatra se besmislenim.

Prilikom rješavanja primjera treba imati na umu da se podizanje na moć naziva nalaženje numeričke ili abecedne vrijednosti nakon podizanja na moć.

Primjer. Podignite na stupanj.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 · 2.5 = 6.25
• (

Podizanje negativnog broja

Baza stupnja (broj koji je podignut na moć) može biti bilo koji broj - pozitivan, negativan ili nula.

Pri podizanju na pozitivan broj dobiva se pozitivan broj.

Kada se konstruira nulti prirodni stupanj, dobiva se nula.

Kod podizanja negativnog broja na snagu, rezultat može biti ili pozitivan broj ili negativan broj. To ovisi o tome je li eksponent neparan ili neparan.

Razmotrite primjere podizanja na negativne brojeve.

Iz razmatranih primjera jasno je da ako se negativni broj podigne na neparan stupanj, dobiva se negativan broj. Budući da je proizvod neparnog broja negativnih faktora negativan.

Ako se negativni broj podigne na jednaku snagu, dobiva se pozitivan broj. Budući da je proizvod jednakog broja negativnih čimbenika pozitivan.

Negativan broj podignut na jednaku snagu je pozitivan broj.

Negativan broj podignut na neparnu snagu je negativan broj.

Kvadrat bilo kojeg broja je pozitivan broj ili nula, to jest:

a 2> 0 za bilo koji a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Obratite pozornost!

Prilikom rješavanja primjera eksponentiranja često griješe, zaboravljajući da su unosi (−5) 4 i −5 4 različiti izrazi. Rezultati eksponiranja ovih izraza će biti različiti.

Izračunati (−5) 4 znači pronaći vrijednost četvrte snage negativnog broja.

Dok nalaz "−5 4" znači da se primjer treba riješiti u 2 koraka:

1. Podignite na četvrtu moć pozitivan broj 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Stavite znak minus ispred rezultata (to jest, izvršite radnju oduzimanja).
   −5 4 = −625

Primjer. Izračunajte: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6,6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. - (- 1) 4 = −1
5. −36 - 1 = −37

Postupak u primjerima sa stupnjevima

Izračun vrijednosti naziva se djelovanje s eksponentom. To je akcija trećeg koraka.

U izrazima sa stupnjevima koji ne sadrže zagrade, oni prvo izvršavaju snagu, zatim množe i dijele, a na kraju dodaju i oduzimaju.

Ako u izrazu postoje zagrade, najprije u gore navedenom redoslijedu izvedite radnje u zagradama, a zatim preostale radnje u istom redoslijedu s lijeva na desno.

Kako bi se olakšalo rješavanje primjera, korisno je znati i koristiti tablicu stupnjeva, koju možete besplatno preuzeti na našoj web stranici.

Da biste provjerili svoje rezultate, možete koristiti online kalkulator za podizanje stupnja na našoj web-lokaciji.

Stupanj broja: definicije, oznake, primjeri.

U ovom članku shvatit ćemo koliki je stupanj broja. Ovdje ćemo dati definicije stupnja broja, s detaljnim osvrtom na sve moguće pokazatelje stupnja, počevši od prirodnog pokazatelja i završavajući s iracionalnim. U materijalu ćete naći mnogo primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Krećite se po stranici.

Stupanj s prirodnim pokazateljem, kvadrat broja, kocka broja

Za početak ćemo dati definiciju stupnja broja s prirodnim indeksom. Gledajući unaprijed, kažemo da je definicija stupnja a s prirodnim indeksom n dana realnom broju a, koji ćemo nazvati bazom stupnja, i prirodnim brojem n, kojeg ćemo nazvati eksponentom. Napominjemo da se stupanj s prirodnim indeksom određuje kroz proizvod, tako da je za razumijevanje materijala u nastavku potrebno imati ideju o množenju brojeva.

Stupanj a s prirodnim indeksom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a, odnosno.
Konkretno, stupanj a s indeksom 1 je sam broj a, tj. A 1 = a.

Iz ove je definicije jasno da se uz pomoć jednog stupnja s prirodnim indeksom mogu zabilježiti djela nekoliko istovjetnih čimbenika. Na primjer, 8 · 8 · 8 · 8 može se napisati kao stupanj 8 4. To je analogno tome kako se zbroj identičnih pojmova piše pomoću djela, na primjer, 8 + 8 + 8 + 8 = 8,4 (vidi opću ideju o umnožavanju prirodnih brojeva).

Odmah treba reći o pravilima stupnjeva čitanja. Univerzalni način čitanja n zapisa je: "a moći n". U nekim slučajevima takve su varijante također dopuštene: "a do n-tog stupnja" i "n-ta snaga broja a". Primjerice, uzmite razred 8 12, to je "osam na snagu od dvanaest", ili "osam na dvanaestu moć", ili "dvanaesta moć od osam".

Drugi stupanj broja, kao i treći stupanj broja imaju svoja imena. Druga snaga broja naziva se kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam kvadrata" ili "kvadrat broja sedam". Treća snaga broja naziva se kocka broja, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet u kocki" ili reći "kocka broja 5".

Vrijeme je da se daju primjeri stupnjeva s prirodnim pokazateljima. Počnimo sa stupnjem 5 7, ovdje 5 je osnova stupnja, a 7 je eksponent. Navedimo još jedan primjer: decimalni dio od 4.32 je baza, a pozitivni cijeli broj 9 je eksponent (4.32) 9.

Napominjemo da se u posljednjem primjeru baza stupnja 4.32 piše u zagradama: da bismo izbjegli odstupanja, uzet ćemo sve baze stupnja u zagradama koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer možemo navesti sljedeće stupnjeve s prirodnim pokazateljima, njihove baze nisu prirodni brojevi, pa su zapisane u zagradama. Pa, za potpunu jasnoću u ovom trenutku pokazujemo razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je stupanj negativnog broja −2 s prirodnim indeksom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao - (2 3)) odgovara broju koji je suprotan vrijednosti stupnja 2 3.

Imajte na umu da postoji oznaka za stupanj a s indeksom n oblika a ^ n. Štoviše, ako je n multivalentni pozitivni cijeli broj, tada se eksponent uzima u zagradama. Na primjer, 4 ^ 9 je drugi unos stupnja 4 9. Evo još nekoliko primjera snimanja stupnjeva pomoću simbola "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). U nastavku ćemo uglavnom koristiti notaciju za stupanj oblika a n.

Gornja definicija omogućuje pronalaženje vrijednosti stupnja s prirodnim pokazateljem. Da biste to učinili, izračunajte proizvod n jednakih faktora jednakih a. Ova tema zaslužuje detaljno razmatranje u zasebnom članku - vidi eksponiranje s prirodnim pokazateljem.

Jedan od zadataka, inverzna konstrukcija s prirodnim pokazateljem, je problem pronalaženja baze stupnja pomoću poznate vrijednosti stupnja i poznatog pokazatelja. Taj zadatak dovodi do pojma korijena iz broja.

Također je vrijedno istražiti svojstva stupnja s prirodnim indeksom, koji proizlaze iz te definicije stupnja i svojstava umnožavanja.

Stupanj s cijelim brojem

Nakon što smo odredili stupanj a s prirodnim indeksom, javlja se logična želja da se proširi pojam stupnja i prijeđe na stupanj broja, od kojeg će bilo koji cijeli broj, uključujući negativan i nula, biti pokazatelj. To bi trebalo biti učinjeno tako da sva svojstva stupnja s prirodnim indeksom ostanu valjana, jer su prirodni brojevi dio cijelih brojeva.

Stupanj a s pozitivnim cijelim brojem nije ništa više od snage a s prirodnim eksponentom :, gdje je n pozitivni cijeli broj.

Sada definiramo nultu snagu a. Nastavimo iz svojstva parcijalnih snaga s istim temeljima: za prirodne brojeve m i n, m m: a n = a m - n (uvjet a is 0 je potreban, jer bi inače imali podjelu na nulu). Za m = n, pisana jednakost dovodi do sljedećeg rezultata: a n: a n = a n - n = a 0. No, s druge strane, n: a n = 1 kao kvocijent jednakih brojeva a n i n. Stoga, moramo prihvatiti 0 = 1 za bilo koji ne-nulti stvarni broj a.

Ali što je sa stupnjem od nule do nule? Pristup korišten u prethodnom paragrafu nije prikladan za ovaj slučaj. Možemo se prisjetiti svojstva proizvoda stupnjeva s istim temeljima a m · a n = a m + n, osobito kada je n = 0, imamo m · a 0 = a m (ta jednakost također pokazuje da je a 0 = 1). Međutim, za a = 0 dobivamo jednakost 0 m · 0 0 = 0 m, koja se može prepisati kao 0 = 0, to vrijedi za svaki prirodni m, bez obzira na to što je vrijednost izraza 0 0 jednaka. Drugim riječima, 0 0 može biti jednak bilo kojem broju. Kako bismo izbjegli tu dvosmislenost, nuli nećemo dodijeliti nulu nikakav smisao nuli (iz istih razloga, kada proučavamo podjelu, izrazu 0: 0 nismo dali smisao).

Lako je provjeriti je li naša jednakost a 0 = 1 za nulta broja a u skladu s svojstvom stupnja do stupnja (a m) n = a m · n. Doista, za n = 0 imamo (a m) 0 = 1 i m · 0 = a 0 = 1, a za m = 0 imamo (a 0) n = 1 n = 1 i a 0 · n = a 0 = 1.

Tako smo došli do definicije stupnja s nultim pokazateljem. Stupanj eksponenta nule (ne-nulti stvarni broj) je jedan, to jest, a 0 = 1 za a. 0.

Dajte primjere: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, i 0 0 nije definirano.

Određuje se nulti stupanj broja a, ostaje odrediti cjelobrojni negativni stupanj broja a. To će nam pomoći sve isto svojstvo proizvoda stupnjeva s istim temeljima a m · a n = a m + n. Uzmemo m = −n, što zahtijeva uvjet a, 0, zatim a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1, iz čega zaključujemo da su n i a - n međusobno inverzni brojevi. Stoga je logično definirati broj a za cijeli broj negativnih stupnjeva -n kao frakciju. Lako je provjeriti je li s takvim zadatkom istinit stupanj nenulnog broja a s cjelobrojnim negativnim eksponentom sva svojstva stupnja s prirodnim eksponentom (vidi svojstva eksponenta s eksponentom cijelog broja), što smo i željeli.

Zvučimo definiciju stupnja s cijelim negativnim indeksom. Stupanj a s negativnim cijelim brojem - n (ne-nulti stvarni broj) je frakcija, to jest, s ≠ 0 i pozitivnim cijelim brojem n.

Razmotrimo ovu definiciju stupnja s negativnim brojem na specifičnim primjerima.

Sažmite informacije o ovoj stavci.

Stupanj a s cijelim brojem z definira se kao:

Stupanj s racionalnim pokazateljem

Iz cjelobrojnih eksponenta broja a prelazi se na racionalni indikator. U nastavku definiramo stupanj s racionalnim indikatorom i to ćemo učiniti tako da se sačuvaju sva svojstva stupnja s cijelim pokazateljem. To je potrebno jer su cijeli brojevi dio racionalnih brojeva.

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih brojeva i djelomičnih brojeva, a svaki djelomični broj može biti predstavljen kao pozitivan ili negativan obični udio. U prethodnom paragrafu definirali smo stupanj s cjelobrojnim eksponentom, stoga, da bismo dovršili definiciju eksponenta s racionalnom eksponentom, moramo dati značenje stupnju a s frakcijskim eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s djelomičnim eksponentom. Da bi se zadržala moć nekog stupnja do stupnja, jednakost se mora ispuniti. Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i kako smo odredili korijen n-tog stupnja, logično je prihvatiti, pod uvjetom da za dani m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti jesu li sva svojstva stupnja s cjelobrojnim indikatorom valjana (to je učinjeno u odjeljku o svojstvima stupnja s racionalnim indikatorom).

Navedeno rasuđivanje dopušta da zaključimo sljedeće: ako je za dani m, n i a izraz smislen, tada je stupanj a s djelomičnim indeksom m / n korijen n-tog stupnja od a do stupnja m.

Ova tvrdnja nas blisko povezuje s definicijom stupnja s djelomičnim eksponentom. Ostaje samo pisati, za koje m, n i a ima smisao. Ovisno o ograničenjima koja nameću m, n i a, postoje dva osnovna pristupa.

Najjednostavnije je nametnuti ograničenje na a, uzimajući ≥0 za pozitivne m i a> 0 za negativne m (budući da za m≤0 stupanj 0 m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s frakcijskim eksponentom.

Stupanj pozitivnog broja a s djelomičnim indeksom m / n, gdje je m cijeli broj i n je pozitivan cijeli broj, naziva se n-tim korijenom od a do snage m, odnosno.

Frakcijski stupanj nule također se određuje uz jedinu rezervu da bi pokazatelj trebao biti pozitivan.

Stupanj nule s djelomičnim pozitivnim indeksom m / n, gdje je m pozitivan cijeli broj i n je pozitivan cijeli broj, definiran je kao.
Kada stupanj nije određen, to jest, stupanj nule s djelomičnim negativnim indikatorom nema smisla.

Valja napomenuti da s takvom definicijom stupnja s frakcijskim eksponentom postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n izraz ima smisla, te smo odbacili te slučajeve unoseći uvjet a≥0. Na primjer, ima smisla pisati ili, a gore navedena definicija navodi na zaključak da stupnjevi s djelomičnim indeksom neke vrste nemaju smisla, jer osnova ne bi trebala biti negativna.

Drugi pristup određivanju stupnja s djelomičnim m / n je uzeti u obzir parne i neparne indekse korijena odvojeno. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: stupanj broja a, čiji je pokazatelj reducirana frakcija, smatra se stupnjem broja a, čiji je pokazatelj odgovarajući ireducibilni dio (objasnit ćemo važnost ovog uvjeta ispod). To jest, ako je m / n irreducibilni dio, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj zamjenjuje s.

Za čak i n i pozitivan m, izraz ima smisla za bilo koje ne-negativne a (čak i korijen negativnog broja nema smisla), za negativne m, broj a mora biti i nula (inače podijeliti s nulom). Za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stupnja određen je za bilo koji stvarni broj), a za negativne m broj a mora biti različit od nule (tako da nema podjele na nulu).

Navedeno rasuđivanje nas dovodi do takve definicije stupnja s djelomičnim eksponentom.

Neka m / n bude nesvediva frakcija, m cijeli cijeli broj, a n pozitivni cijeli broj. Za svaku reducirajuću frakciju stupanj se zamjenjuje s. Za stupanj a s ireducibilnim djelomičnim eksponentom m / n vrijedi

• bilo koji stvarni broj a, pozitivni cijeli broj m i neparni pozitivni cijeli broj n, na primjer;
• bilo koji stvarni broj koji nije nula a, cijeli negativ m i neparan n, na primjer;
• bilo koji ne-negativni broj a, cijeli broj pozitivnih m, pa čak i n, na primjer;
• bilo koji pozitivni a, cijeli broj negativan m, pa čak i n, na primjer,;
• u drugim slučajevima stupanj s djelomičnim eksponentom nije definiran, na primjer, stupnjevi nisu definirani.

Objašnjava se zašto je stupanj s djelomičnim eksponentom koji se može poništiti prethodno zamijeniti eksponentom s neizmjenjivim eksponentom. Ako jednostavno definiramo stupanj kao, a ne rezerviramo se o nesvodivosti dijela m / n, tada ćemo se suočiti sa situacijama kao što su sljedeće: budući da je 6/10 = 3/5, onda jednakost mora imati, ali, a.

Imajte na umu da je prva definicija stupnja s djelomičnim indeksom lakša za uporabu od druge. Stoga ćemo ga koristiti u budućnosti.

stupanj pozitivnog broja a s djelomičnim indeksom m / n definiramo kao, za negativne zapise ne pridajemo nikakvo značenje, stupanj broja nula se određuje za pozitivne djelomične pokazatelje m / n, jer za negativne frakcijske pokazatelje stupanj broja nula nije određen.

U zaključku ovog stavka skrećemo pozornost na činjenicu da se frakcijski eksponent može napisati u obliku decimalnog dijela ili mješovitog broja, na primjer,. Da biste izračunali vrijednosti izraza ovog tipa, trebate napisati eksponent u obliku obične frakcije, a zatim upotrijebiti definiciju stupnja s djelomičnim eksponentom. Za navedene primjere imamo i.

Stupanj s iracionalnim i valjanim pokazateljem

Poznato je da se skup realnih brojeva može smatrati jedinstvom skupa racionalnih i iracionalnih brojeva. Stoga se stupanj s valjanim pokazateljem može smatrati definiranim kada se određuje stupanj s racionalnim pokazateljem i stupanj s iracionalnim pokazateljem. Razgovarali smo o stupnju s racionalnim pokazateljem u prethodnom paragrafu, ostaje se baviti stupnjem s iracionalnim pokazateljem.

Pojam stupnja a s iracionalnim indeksom pristupit će se postupno.

Dopustiti biti niz decimalnih aproksimacija iracionalan broj. Primjerice, uzmite iracionalan broj, a zatim ga možete prihvatiti ili, itd. Vrijedi napomenuti da su brojevi racionalni.

Slijed racionalnih brojeva odgovara nizu stupnjeva, a vrijednosti tih stupnjeva možemo izračunati na temelju materijala materijala koji se uzdiže do racionalnog stupnja. Primjerice, uzmite a = 3, a zatim, i nakon podizanja na snagu, dobivamo.

Konačno, slijed konvergira do određenog broja, što je vrijednost snage a s iracionalnim eksponentom. Vratimo se našem primjeru: stupanj s iracionalnim pokazateljem oblika konvergira u broj koji je jednak 6,27 s točnošću od stotinke.

Stupanj pozitivnog broja a s iracionalnim indeksom izraz je čija je vrijednost jednaka granici slijeda, gdje su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja.

Stupanj broja nula određen je za pozitivne iracionalne pokazatelje, s tim. Na primjer,. A stupanj broja 0 s negativnim iracionalnim pokazateljem nije određen, na primjer, nije definiran.

Odvojeno, treba reći o iracionalnom stupnju jedinice - jedinica u svakom iracionalnom stupnju jednaka je 1 Na primjer, i.

Korijeni i stupnjevi

stupanj

Stupanj je izraz oblika :, gdje:

• - osnovu stupnja;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Definiramo pojam stupnja čiji je indeks prirodni broj (tj. Cijeli broj i pozitivan).

1. Po definiciji :.
2. Za kvadriranje broja to je množenje samo po sebi:
3. Izgraditi broj u kocku znači umnožiti ga samo tri puta :.

Podizanje broja na prirodni stupanj znači ponovno množenje broja:

Stupanj s cijelim brojem

Ako je eksponent pozitivni cijeli broj:

, n> 0

Visina nultog stupnja:

, a ≠ 0

Ako je eksponent negativan cijeli broj:

, a ≠ 0

Napomena: izraz nije definiran, u slučaju n ≤ 0. Ako je n> 0, tada

Stupanj s racionalnim pokazateljem

• a> 0;
• n je prirodni broj;
• m je cijeli broj;

Svojstva stupnjeva

korijen

Aritmetički kvadratni korijen

Jednadžba ima dva rješenja: x = 2 i x = -2. To su brojevi čiji je kvadratić 4.

Razmotrimo jednadžbu. Nacrtat ćemo graf funkcije i vidjeti da ova jednadžba također ima dva rješenja, jedno pozitivno, drugo negativno.

Ali u ovom slučaju, rješenja nisu cijeli brojevi. Štoviše, oni nisu racionalni. Da bismo zapisali ove iracionalne odluke, uvedemo poseban karakter kvadratnog korijena.

Aritmetički kvadratni korijen je ne-negativan broj, čiji je kvadrat, a ≥ 0. Kada je a

Stupanj i njegova svojstva. Određivanje stupnjeva

Odjeljci: Matematika

Upoznati studente sa svojstvima stupnjeva s prirodnim pokazateljima i naučiti kako izvoditi radnje sa stupnjevima.

Tema „Stupanj i njegova svojstva“ uključuje tri pitanja:

• Određivanje stupnja s prirodnim pokazateljem.
• Množenje i podjela vlasti.
• Podizanje stupnja proizvoda i stupnja.

Formulirajte definiciju stupnja s prirodnim indeksom većim od 1. Dajte primjer.

Formulirajte definiciju stupnja s pokazateljem 1. Dajte primjer.

Koji je redoslijed akcija pri izračunavanju vrijednosti izraza koji sadrži stupanj?

Formulirajte osnovno svojstvo stupnja. Dajte primjer.

Formulirajte pravilo množenja stupnjeva s istim temeljima. Dajte primjer.

Formulirajte pravilo podjele stupnjeva s istim temeljima. Dajte primjer.

Formulirati pravilo za stupanj rada. Dajte primjer. Dokazati identitet (ab) n = a n • b n.

Formulirajte pravilo stupnja eksponenta. Dajte primjer. Dokazati identitet (a m) n = a m n.

Stupanj a s prirodnim indeksom n većim od 1 proizvod je n čimbenika, od kojih je svaki a. Stupanj a s indeksom 1 je sam broj.

Stupanj s bazom a i indeksom n upisuje se kako slijedi: a n. Pročitajte "a do snage n"; "N-ta moć".

Po definiciji, stupanj:

Pronalaženje vrijednosti stupnja naziva se eksponentiranjem.

1. Primjeri eksponiranja:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Zamislite u obliku kvadratnog broja: 25; 0,09;

25 = 5; 0,09 = (0,3) 2;,

3. U obliku kocke predstavite brojeve:

27 = 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Pronađite vrijednosti izraza:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Napiši rad kao stupanj:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Prisutan u obliku kvadratnog broja:

3. U obliku kocke predstavite brojeve:

4. Pronađite vrijednosti izraza:

Za bilo koji broj a i proizvoljne brojeve m i n:

a m a n = a m + n.

Pravilo: Kada množite stupnjeve s istim bazama, baze ostaju nepromijenjene, a eksponenti se zbrajaju.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Prisutan kao stupanj:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Predstavite kao stupanj i pronađite vrijednost u tablici:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Prisutan kao stupanj:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Predstavite kao stupanj i pronađite vrijednost u tablici:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 243

Za bilo koji broj a i proizvoljni pozitivni brojevi m i n, tako da je m> n istinito:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

po definiciji privatno:

a m: a n = a m - n.

Pravilo: Kada podijeli stupnjeve s istim bazama, baza je ostavljena ista, a stupanj djelitelja se oduzima od eksponenta.

Definicija: stupanj ne jednak nuli, s nultom eksponentom jednakom jednom:

Brojevi. Stupanj broja.

Dobro je poznata činjenica da se zbroj nekoliko jednakih komponenti može pronaći množenjem. Na primjer: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Za takav izraz se kaže da je zbroj jednakih komponenti pretvorenih u proizvod. I obrnuto, ako čitamo ovu jednakost s desna na lijevo, dobivamo da smo proširili zbroj jednakih uvjeta. Slično tome, moguće je srušiti produkt nekoliko jednakih faktora 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

To jest, umjesto umnožavanja šest istih faktora od 5x5x5x5x5x5, pišu 5 6 i kažu "pet do šesti stupanj".

Izraz 5 6 je snaga broja, gdje:

5 - osnova stupnja;

6 - eksponent.

Radnje kojima je proizvod jednakih faktora minimiziran do snage nazivaju se eksponentiranjem.

Općenito, stupanj s bazom "a" i indeksom "n" se piše kao

Podići broj a na snagu n znači pronaći proizvod n faktora, od kojih je svaki a

Ako je osnovica stupnja "a" 1, tada je vrijednost stupnja za bilo koji prirodni n 1. Na primjer, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Ako podignemo broj “a” na prvi stupanj, dobivamo sam broj a: a 1 = a

Ako podignemo bilo koji broj na nulti stupanj, onda kao rezultat izračuna dobijemo jedan. a 0 = 1

Posebno razmotrimo broj drugog i trećeg stupnja. Za njih je došao naziv: drugi stupanj se zove kvadrat broja, treći - kocka tog broja.

Bilo koji broj može se podići na pozitivnu, negativnu ili nultu snagu. Ne koristi sljedeća pravila:

-pronalaženjem stupnja pozitivnog broja dobiva se pozitivan broj.

-kada računamo nulu u prirodnom stupnju, dobivamo nulu.

- pri izračunavanju stupnja negativnog broja, rezultat može biti i pozitivan i negativan broj. To ovisi o tome je li eksponent neparan ili neparan.

Ako riješimo nekoliko primjera izračunavanja stupnja negativnih brojeva, ispada da ako izračunamo neparni stupanj negativnog broja, rezultat će biti broj s predznakom minus. Budući da se množenjem neparnog broja negativnih faktora dobiva negativna vrijednost.

Ako izračunamo jednaki stupanj za negativni broj, rezultat će biti pozitivan broj. Budući da se množenjem parnog broja negativnih čimbenika dobiva pozitivna vrijednost.

Stupanj svojstava s prirodnim pokazateljem.

Da bi pomnožili stupnjeve s istim bazama, ne mijenjamo baze i dodajemo eksponente stupnjeva:

na primjer: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Da bismo odvojili stupnjeve s istim bazama, ne mijenjamo bazu, nego oduzimamo eksponente:

na primjer: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Prilikom izračunavanja stupnja ekspozicije ne mijenjamo bazu i množimo eksponente stupnjeva.

na primjer: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Ako je potrebno izračunati erekciju do stupnja proizvoda, tada se svaki faktor podiže na taj stupanj.

na primjer: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Prilikom izvođenja proračuna na konstrukciji dijela podižemo brojnik i nazivnik frakcije toj snazi.

na primjer: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Redoslijed izračuna pri radu s izrazima koji sadrže stupanj.

Prilikom izvođenja izračuna, izraza bez zagrada, ali koji sadrže stupnjeve, prije svega izvršite eksponentiranje, zatim pomnožite i podijelite radnje, i tek tada dodajte i oduzmite operacije.

Ako je potrebno izračunati izraz koji sadrži zagrade, tada najprije u gore navedenom redoslijedu vršimo izračune u zagradama, a zatim preostale radnje u istom redoslijedu s lijeva na desno.

Vrlo široko u praktičnim izračunima za pojednostavljenje izračuna koristiti spremni tablice stupnjeva.

Objasnite kako pronaći moć broja

Uštedite vrijeme i ne gledajte oglase uz Knowledge Plus

Uštedite vrijeme i ne gledajte oglase uz Knowledge Plus

Odgovor

Odgovor je dan

19kot

Povežite Knowledge Plus da biste pristupili svim odgovorima. Brzo, bez reklama i prekida!

Ne propustite važno - povežite Knowledge Plus da biste odmah vidjeli odgovor.

Pogledajte videozapis da biste pristupili odgovoru

Oh ne!
Pogledi odgovora su gotovi

Povežite Knowledge Plus da biste pristupili svim odgovorima. Brzo, bez reklama i prekida!

Ne propustite važno - povežite Knowledge Plus da biste odmah vidjeli odgovor.

Pogledajte videozapis da biste pristupili odgovoru

Oh ne!
Pogledi odgovora su gotovi

• komentari
• Označite prekršaj

Odgovor

Odgovor je dan

Nadirka212

Najrazumnije je razgraditi broj u početne faktore, a zatim pronaći bazu i eksponent.
Ako je baza poznata, tada se indikator može pronaći logaritmizacijom, na primjer,
2 ^ x = 8
Da biste pronašli x, trebate brojati oba dijela baze 2
x = prijavite bazu 2 od 8 = ln 8 / ln 2 (to se može izračunati na kalkulatoru) = 3
Ako je indikator poznat, baza se pronalazi, primjerice, izdvajanjem korijena
x ^ 3 = 8
izvadite kubični korijen iz oba dijela
x = kubični korijen od 8 = 2

Ako niti jedan ne zna ni jedno ni drugo, broj se raspada na jednostavne čimbenike, to se postiže sukcesivnim dijeljenjem broja na osnovne čimbenike.
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 nije djeljiv s 2, na 3, na 5 (sukcesivno ponavljaju se u praškastim brojevima)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Dakle, ukupno smo ih podijelili osam puta i sedam puta četiri puta
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Ako želimo pronaći prikaz u obliku a ^ b s prirodnim a i b i b mora biti maksimalan, onda kao b moramo uzeti GCD stupnjeva dobivenih u dekompoziciji u proste faktore, tj. U ovom slučaju b = GCD (8,4) = 4
baza stupnja a će biti 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Stupanj i njegova svojstva. Početna razina.

Stupanj je izraz oblika :, gdje:

Stupanj s cijelim brojem

čiji je stupanj prirodni broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Stupanj s racionalnim pokazateljem

čiji je stupanj negativan i djelomičan.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent beskonačni decimalni dio ili korijen.

Svojstva stupnjeva

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na jednaku snagu je pozitivan broj.
• Negativan broj podignut na neparnu snagu je negativan broj.
• Pozitivan broj na bilo koji stupanj je pozitivan broj.
• Nula je jednaka svakom stupnju.
• Bilo koji broj je nulti stupanj.

Koja je snaga broja?

Eksponiranje je ista matematička operacija kao zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti u ljudskom jeziku s vrlo jednostavnim primjerima. Budite pažljivi. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodatkom.

Ovdje nema što objasniti. Već sve znate: nas je osam. Svaka ima dvije boce kola. Koliko je kola? Tako je - 16 boca.

Sada umnožite.

Isti primjer s Koksom može se napisati drugačije: Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim dolaze do načina da ih brzo "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kola i došao je do uređaja nazvanog množenje. Priznajte da se smatra lakšim i bržim od.

Ovdje je tablica množenja. Ponoviti.
Dakle, brojati brže, lakše i bez pogrešaka, samo trebate zapamtiti tablicu množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i uz greške! Ali...

Ovdje je tablica množenja. Ponoviti.

I drugo, ljepše:

Koji su drugi pametni trikovi računa izmislili lijeni matematičari? Ispravno - uvođenje broja u stupnju.

Podizanje broja na snagu.

Ako trebate broj pomnožiti sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj morate izgraditi do petog stupnja. Na primjer,. Matematičari pamte da je to dva do petog stupnja. I riješiti takve zagonetke na umu - brže, lakše i bez pogrešaka.

Da biste to učinili, samo zapamtite što je istaknuto u boji u tablici stupnjeva brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam olakšati život.

Usput, zašto se drugi stupanj naziva kvadratom broja, a treći - kockom? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati kvadrate i kocke.

Primjer iz života №1.

Počnimo s kvadratom ili brojem drugog stupnja.

Zamislite kvadratni bazen mjerenja metara po metrima. Bazen je u tvojoj dachi. Toplina i stvarno želite plivati. Ali... bazen bez dna! Potrebno je položiti dno pločica bazena. Koliko pločica trebate? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno brojati, gurati prstom, da se dno bazena sastoji od kocki metra po metru. Ako imate metar za pločice po metru, trebat će vam komadići. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Na pločici će se vjerojatno vidjeti cm, a onda će vas mučiti "prst". Onda se morate umnožiti. Dakle, na jednoj strani dna bazena, stajat ćemo pločice (komadići), a na drugoj također i pločice. Množenjem po, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje područja dna bazena sami pomnožili isti broj? Što to znači? Jednom kad se isti broj umnoži, možemo koristiti tehniku ​​"eksponentiranja". (Naravno, kada imate samo dva broja, još ih pomnožite ili ih podignite na snagu. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na vlast mnogo jednostavnije, a računske pogreške su također manje. Za Unified State ispit to je vrlo važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja će biti (). Ili možete reći da će trideset kvadrata biti. Drugim riječima, drugi stupanj broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga snaga određenog broja. Kvadrat je slika drugog stupnja broja.

Primjer iz života br.

Evo zadatka za vas, izračunajte koliko kvadrata na šahovskoj ploči uz pomoć kvadrata broja. Na jednoj strani stanica i na drugoj. Da biste izračunali njihov broj, trebate umnožiti osam po osam ili... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranom, tada možete izgraditi osam u kvadrat. Uzmi mobitel. () Dakle?

Primjer iz života broj 3.

Sada kocka ili treća snaga broja. Isti bazen. Ali sada morate znati koliko vode morate sipati u ovaj bazen. Trebate izračunati glasnoću. (Usput rečeno, količine i tekućine se mjere u kubičnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine jedan metar i jedan metar duboko i pokušajte izračunati koliko će kocki u metru i metar ući u vaš bazen.

Samo uperi prst i izbroji! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset dva, dvadeset tri... Koliko se to dogodilo? Ne izlazi Je li teško računati prstom? To je to! Uzmimo primjer matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da je, da bi se izračunao volumen bazena, potrebno umnožiti jedna drugu dužinu, širinu i visinu. U našem slučaju, volumen bazena bit će jednak kockama... Je li lakše, zar ne?

I sada zamislite kako su matematičari lijeni i lukavi, ako su i oni pojednostavili. Sve je doneseno u jednu akciju. Primijetili su da su duljina, širina i visina jednaki i da se isti broj pomnožio sam sa sobom... I što to znači? To znači da možete koristiti stupanj. Dakle, ono što ste nekada brojali kao prst, rade u jednoj akciji: tri u kocki su jednake. Tako je napisano:

Ostaje samo upamtiti tablicu stupnjeva. Ako ste, naravno, lijen i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i praviti pogreške, možete nastaviti brojati prstom.

Pa, da bi vas konačno uvjerili da su stupnjeve izmislili oni koji su odustali i zavaravali ih za rješavanje svojih životnih problema, a ne da bi stvorili probleme za vas, evo još nekoliko primjera iz života.

Primjer iz života br.

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine zarađujete na svakom milijunu. To znači da se svaki vaš milijun na početku svake godine udvostručuje. Koliko ćete novca imati u godinama? Ako sjedite i "brojate prst", onda ste vrlo vrijedna osoba i... glupi. No, najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, u prvoj godini - dva puta dva... u drugoj godini - što se dogodilo, još dvije, u trećoj godini... Stani! Primijetili ste da se broj jednom pomnoži. Dakle, dva do petog stupnja - milijun! Sada zamislite da imate natjecanje i oni koji primaju milijun će brže izračunati... Vrijedi se sjetiti stupnjeva brojeva, kako mislite?

Primjer iz životnog broja 5.

Imate milijun. Na početku svake godine zarađujete na još dva milijuna. Wow, stvarno? Svaki milijun trojki. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Neka broje. Prva godina je da se umnožimo, onda je rezultat još uvijek... To je već dosadno, jer ste već sve shvatili: tri puta se umnožava sama od sebe. Tako je u četvrtom stupnju jednak milijun. Morate samo zapamtiti da su tri do četvrtog stupnja ili.

Sada znate da ćete uz pomoć podizanja broja na moć uvelike olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti sa stupnjevima i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi.

Počnimo s definiranjem pojmova. Što mislite, što je eksponent? To je vrlo jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali razumljivo i lako se pamti...

Dakle, u isto vrijeme, što je temelj stupnja? Još jednostavniji je broj na dnu, na dnu.

Evo slike za vašu odanost.

Pa, općenito, sažeti i bolje zapamtiti... Stupanj s bazom " i indikator " se čita kao "do stupnja" i piše na sljedeći način:

Nadalje, zašto reći "stupanj brojeva s prirodnim pokazatelj"?

"Stupanj brojeva s prirodnim pokazateljem"

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodni broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovna! Prirodni brojevi su oni koji se koriste na računu prilikom unosa stavki: jedan, dva, tri... Kada brojimo stavke, ne govorimo: "minus pet", "minus šest", "minus sedam". Također ne kažemo: "jedna trećina", ili "nula točka, pet desetina". To nisu prirodni brojevi. A što su ti brojevi kao što misliš?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli broj. Općenito, cjelobrojni brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne od prirodnih brojeva (to jest, uzeti s znakom minus) i broj. Nula je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Što znače negativni ("negativni") brojevi? No, oni su izmislili prije svega odrediti dugove: ako imate ravnotežu na telefon u rubalja, to znači da dugujete operatora rubalja.

Frakcije bilo koje vrste su racionalni brojevi. Kako su došli, što mislite? Vrlo jednostavno. Tisuće godina, naši preci su otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje duljine, težine, područja itd. I došli su do racionalnih brojeva... Zanimljivo, zar ne?

Još uvijek postoje iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačna decimalna. Na primjer, ako je opseg podijeljen svojim promjerom, dobiva se iracionalan broj.

Ukratko:

• Prirodni brojevi su brojevi koji se koriste prilikom brojanja, to jest, itd.
• Integer - svi prirodni brojevi, prirodni brojevi s minusom i broj 0.
• Frakcijski brojevi se smatraju racionalnim.
• Iracionalni brojevi su beskonačni decimalni brojevi

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Definiramo pojam stupnja čiji je indeks prirodni broj (tj. Cijeli broj i pozitivan).

1. Bilo koji broj u prvom stupnju jednak je samom sebi:
2. Za kvadriranje broja to je množenje samo po sebi:
3. Izgraditi broj u kocku znači umnožiti ga samo tri puta:

Definicija. Podizanje broja na prirodni stupanj znači ponovno množenje broja:
.

Stupanj broja: definicije, oznake, primjeri

U okviru ovog materijala analiziramo koliki je stupanj broja. Uz osnovne definicije formuliramo što je stupanj s prirodnim, cjelovitim, racionalnim i iracionalnim pokazateljima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrirani primjerima zadataka.

Stupnjevi s prirodnim eksponenatima: pojam kvadrata i kocke broja

Prvo, formuliramo osnovnu definiciju stupnja s prirodnim indeksom. Za to se moramo sjetiti osnovnih pravila množenja. Unaprijed razjasnimo da ćemo kao bazu zasad uzeti pravi broj (označen slovom a), a kao indikator prirodni broj (označen slovom n).

Stupanj a s prirodnim indeksom n je proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stupanj je pisan na sljedeći način: a n, a u obliku formule njegov se sastav može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent jednak 1 i baza je a, tada se prva snaga a zapisuje kao 1. S obzirom da je a vrijednost množitelja, a 1 broj množitelja, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, može se reći da je stupanj prikladan oblik bilježenja velikog broja jednakih faktora. Stoga se tip zapisa 8,88,8 može smanjiti na 8 4. Približno isto djelo pomaže nam izbjeći pisanje velikog broja termina (8 + 8 + 8 + 8 = 8,4); ovo smo već analizirali u članku posvećenom umnožavanju prirodnih brojeva.

Kako čitati zapis o stupnju? Općeprihvaćena opcija je "a do snage n". Ili možete reći "n-ti stupanj a" ili "n-ti stupanj." Ako, recimo, u primjeru susrećemo zapis 8 12, možemo pročitati "8 do 12. stupnja", "8 do stupnja 12" ili "12. stupanj do 8.".

Drugi i treći stupanj imaju dobro utvrđena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stupanj, na primjer broj 7 (7 2), onda možemo reći "7 kvadrata" ili "kvadrat broja 7". Slično tome, treći stupanj glasi ovako: 5 3 je "kocka broja 5" ili "5 u kocki". Međutim, također je moguće koristiti standardnu ​​riječ "u drugom / trećem stupnju", to neće biti pogreška.

Pogledajmo primjer stupnja s prirodnim pokazateljem: za 5 7, pet će biti baza, a sedam - pokazatelj.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4, 32) 9 baza će biti dio 4, 32, a pokazatelj će biti devet. Obratite pažnju na zagrade: takav unos je napravljen za sve stupnjeve čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Za što se koriste zagrade? Oni pomažu izbjeći pogreške u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (- 2) 3 i - 2 3. Prvi od njih znači negativni broj minus dva, podignut na snagu s prirodnim indeksom od tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stupnja 2 3.

Ponekad se u knjigama može naići na nešto drugačiji pravopis snage broja - a ^ n (gdje je a baza, a n indikator). To jest, 4 ^ 9 je isto kao i 4 9. Ako je n višestruki broj, uzima se u zagradama. Na primjer, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). No, koristit ćemo oznaku n kao češću.

Kako izračunati vrijednost stupnja s prirodnim indeksom lako je pogoditi iz njegove definicije: trebate samo pomnožiti n broj puta. Više o tome, napisali smo u drugom članku.

Pojam stupnja suprotan je drugom matematičkom konceptu - korijenu broja. Ako znamo vrijednost stupnja i eksponenta, možemo izračunati njegovu osnovu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema koje smo rastavili u odvojenom materijalu.

Što je stupanj s cijelim pokazateljem

U smislu stupnjeva, mogu postojati ne samo prirodni brojevi, već općenito bilo koje cjelobrojne vrijednosti, uključujući negativne i nule, jer također pripadaju skupu prirodnih brojeva.

Stupanj broja s pozitivnim cijelim brojem može se prikazati kao formula :.

Štoviše, n je bilo koji pozitivni cijeli broj.

Razumjet ćemo pojam nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo pojedinca za moći s jednakim osnovama. Formulira se kako slijedi:

Jednakost a m: a n = a m - n vrijedi u uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m n, a. 0.

Potonji uvjet je važan jer izbjegava podjelu na nulu. Ako su vrijednosti m i n jednake, dobivamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n - n = a 0

Ali u isto vrijeme, a n: a n = 1 je kvocijent jednakih brojeva a n i a. Ispostavlja se da je nulta snaga bilo kojeg nenula broja jedan.

Međutim, ovaj se dokaz ne primjenjuje na stupanj nula do nule. Za to nam je potrebno drugo svojstvo stupnjeva - svojstvo proizvoda stupnjeva s jednakim bazama. Izgleda ovako: a m · a n = a m + n.

Ako je n 0, onda je a m · 0 = a m (ova jednakost nam također dokazuje da je 0 = 1). Ali ako i također je nula, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, to će biti istinito za svaku prirodnu vrijednost n, i nije važno kakva je vrijednost stupnja 0, tj. Može biti jednaka svakom broju i neće utjecati na odanost jednakosti. Prema tome, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje i nećemo ga pripisati njemu.

Ako se želi, lako je provjeriti da li je 0 = 1 konvergirano sa svojstvom stupnja (a m) n = a m · n, pod uvjetom da je osnovica stupnja ne-nula. Dakle, stupanj bilo kojeg nenula broja s nultom eksponentom je jedan.

Pogledajmo primjer s konkretnim brojevima: Dakle, 5 0 je jedinica, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, a vrijednost 0 0 nije definirana.

Nakon nultog stupnja ostaje nam otkriti koji je stupanj negativan. Za to nam je potrebno isto svojstvo produkta stupnjeva s jednakim bazama, koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Uvedemo uvjet: m = - n, a ne bi trebao biti nula. Iz toga slijedi da je a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Ispada da su n i a - n međusobno inverzni brojevi.

Kao rezultat, a u cijelom negativnom stupnju nije ništa drugo do frakcija 1 a n.

Takva formulacija potvrđuje da za stupanj s cijelim negativnim indeksom vrijedi sva ista svojstva kao stupanj s prirodnim indeksom (pod uvjetom da baza nije nula).

Stupanj a s negativnim cijelim brojem n može se predstaviti kao frakcija 1 a n. Dakle, a - n = 1 a n pod uvjetom a and 0 i n je bilo koji pozitivni cijeli broj.

Svoje misli ilustriramo konkretnim primjerima:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U zadnjem dijelu paragrafa, pokušat ćemo prikazati sve što je jasno navedeno u jednoj formuli:

Stupanj a s prirodnim indeksom z je: az = az, e s l i z je cijeli broj a l, a z je 0 i z = 0 i a, 0, (p p p i z = 0 i a = 0 p o o v e c i s 0 0, što znači da je 0 0 n e O p efa i i) 1 az, c i z je zi a n a n a n a s a n o a a 0 ( e sl i z - cijeli broj niza i a = 0 beskonačno s i 0 z, ego oko N a z o o d ije s i)

Što je racionalna eksponent?

Rješavali smo slučajeve u kojima je cijeli broj u eksponentu. Međutim, moguće je podići broj na snagu čak i kada je djelomični broj u indeksu. To se naziva racionalnim eksponentom. U ovom trenutku dokazujemo da ima ista svojstva kao i drugi stupnjevi.

Što su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele i djelomične brojeve, dok se djelomični brojevi mogu prikazati kao obične frakcije (i pozitivne i negativne). Formuliramo definiciju stupnja a s frakcijskim eksponentom m / n, gdje je n pozitivni cijeli broj i m je cijeli broj.

Imamo neki stupanj s djelomičnim eksponentom a m n. Da bi se zadržalo svojstvo stupnja do stupnja, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti istinita.

Uzimajući u obzir definiciju korijena n-og stupnja i da je m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako m n ima smisla pri danim vrijednostima m, n i a.

Gornja svojstva stupnja s cijelim brojem bit će istinita pod uvjetom a m n = a m n.

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: stupanj određenog broja a s djelomičnim indeksom m / n je korijen n-tog stupnja od a do m. To vrijedi ako za zadane vrijednosti m, n i a izraz a m n zadržava svoje značenje.

Zatim moramo odrediti koju vrstu ograničenja na vrijednosti varijabli nameće takvo stanje. Postoje dva pristupa rješavanju ovog problema.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzmemo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti strogo manje (budući da za m ≤ 0 dobivamo 0 m, a taj stupanj nije definiran). U ovom slučaju, određivanje stupnja s djelomičnim indeksom bit će kako slijedi:

Stupanj s djelomičnim eksponentom m / n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen podignutog na m. U obliku formule, to se može predstaviti kao:

Za stupanj s nultom bazom, ovaj je položaj također prikladan, ali samo ako je njegov indeks pozitivan broj.

Stupanj s nultom bazom i djelomičnim pozitivnim m / n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetima cijelog pozitivnog m i prirodnog n.

S negativnim omjerom mnO, stupanj nije određen, tj. takav zapis nema smisla.

Zapamtite jednu točku. Budući da smo uveli uvjet da je a veći ili jednak nuli, ispustili smo neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad i dalje ima smisla za neke negativne vrijednosti a i nekih m. Dakle, unosi (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 su točni, pri čemu je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim indeksima. Tada ćemo morati uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u indeksu koji je reducibilni običan frakcija, smatra se stupnjem a, u indeksu koji je odgovarajući ireducibilni dio. Kasnije ćemo objasniti zašto je ovaj uvjet za nas i zašto je to toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k, možemo ga reducirati na m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj, a m pozitivan, a je bilo koji ne-negativan broj, onda je smisao m n. Potrebno je stanje nenegativnog a, budući da korijen jednake moći nije izvađen iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer neparni stupanj korijena može se izdvojiti iz bilo kojeg pravog broja.

Kombinirajte sve podatke iznad definicija u jednom zapisu:

Ovdje m / n označava nesvodivu frakciju, m je bilo koji cijeli broj, a n bilo koji pozitivni cijeli broj.

Za svaku običnu reduciranu frakciju m · k n · k stupanj se može zamijeniti s m n.

Stupanj broja a s nemjerljivim djelomičnim indeksom m / n može se izraziti kao m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koji realni a, pozitivni cijeli broj vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti od n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- za bilo koja stvarna a. nula, cijeli broj negativnih vrijednosti m i neparne vrijednosti od n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- za bilo koje ne-negativno a, cijeli broj pozitivnih vrijednosti m, pa čak i n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- za bilo koji pozitivan a, cijeli broj negativan m, pa čak i n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s djelomičnim eksponentom nije definiran. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost gore navedenog stanja: zašto zamijeniti frakciju s reduciranim indeksom za frakciju s nemjerljivim dijelom. Ako to ne bismo učinili, onda bismo imali takve situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti točno (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Određivanje stupnja s djelomičnim indeksom, koje smo najprije citirali, prikladnije je primijeniti u praksi nego drugi, stoga ćemo ga dalje koristiti.

Tako je stupanj pozitivnog broja a s djelomičnim indeksom m / n definiran kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnih a, unos a m n nema smisla. Stupanj nule za pozitivne djelomične pokazatelje m / n definira se kao 0 m n = 0 m n = 0, za negativne frakcijske pokazatelje ne definiramo stupanj nule.

U zaključcima treba napomenuti da možemo pisati bilo koji djelomični indeks u obliku mješovitog broja iu obliku decimalnog dijela: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Pri izračunavanju je bolje zamijeniti eksponent s običnom frakcijom, a zatim upotrijebiti definiciju frakcije s frakcijskim eksponentom. Za gore navedene primjere dobivamo:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što je stupanj s iracionalnim i valjanim pokazateljem

Što su stvarni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli što je stupanj s valjanim pokazateljem, moramo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim pokazateljima. Što se tiče racionalnosti, već smo spomenuli. Mi ćemo se baviti iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Pretpostavimo da imamo iracionalni broj a i slijed njegovih decimalnih aproksimacija a 0, a 1, a 2,.,,, Na primjer, uzmite vrijednost a = 1, 67175331.,, tada

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a2 = 1, 671,.,,, a 0 = 1, 67, a1 = 1, 6717, a2 = 1, 671753,.,,

i tako dalje (s aproksimacijama koje su racionalni brojevi).

Sekvence aproksimacija možemo povezati nizom stupnjeva a a 0, a a 1, a a 2,.,,, Ako se prisjetimo da smo ranije rekli o podizanju brojeva na racionalni stupanj, tada možemo sami izračunati vrijednosti tih stupnjeva.

Uzmimo za primjer a = 3, a zatim a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,.,, i tako dalje

Redoslijed stupnjeva može se svesti na broj, koji će biti vrijednost stupnja c s bazom a i iracionalnim indeksom a. Ukratko: stupanj s iracionalnim indeksom oblika 3 1, 67175331., može se smanjiti na broj 6, 27.

Stupanj pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a. Njegova vrijednost je granica sekvence a 0, a a 1, a a 2,.,, gdje je 0, 1, 2, 2.,, su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj nulte baze može se definirati i za pozitivne iracionalne pokazatelje, s 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. A za negativne, to se ne može učiniti, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π je nedefinirana. Jedinica podignuta na bilo koji iracionalni stupanj ostaje jedinica, na primjer, i 1 2, 1 5 do 2 i 1-5 će biti jednaka 1.